Question

某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2000平方米的樓房．經測算，如果將樓房建為x（x≥10）層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）．
（1）寫出樓房平均綜合費用y關于建造層數(shù)x的函數(shù)關系式；
（2）該樓房應建造多少層時，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少？最少值是多少？
（注：平均綜合費用=平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用=

購地總費用

建筑總面積

）

Answer 1

分析：（1）由已知得，樓房每平方米的平均綜合費為每平方米的平均建筑費用為560+48x與平均地皮費用的和，由已知中某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟x層，每層2000平方米的樓房，我們易得樓房平均綜合費用y關于建造層數(shù)x的函數(shù)關系式；
（2）由（1）中的樓房平均綜合費用y關于建造層數(shù)x的函數(shù)關系式，要求樓房每平方米的平均綜合費用最小值，我們有兩種思路，一是利用基本不等式，二是使用導數(shù)法，分析函數(shù)的單調性，再求最小值．

解答：解：（1）設樓房每平方米的平均綜合費為y元，依題意得
y=（560+48x）+

2160×10000

2000x

=560+48x+

10800

x

（x≥10，x∈N*）；
（定義域不對扣1-2分）
（2）法一：∵x＞0，∴48x+

10800

x

≥2

48×10800

=1440，
當且僅當48x=

10800

x

，即x=15時取到“=”，
此時，平均綜合費用的最小值為560+1440=2000元．
答：當該樓房建造15層，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少，最少值為2000元．
法二：先考慮函數(shù)y=560+48x+

10800

x

（x≥10，x∈R）；
則y'=48-

10800

x2

，令y'=0，即48-

10800

x2

=0，解得x=15，
當0＜x＜15時，y'＜0；當x＞15時，y'＞0，又15∈N*，
因此，當x=15時，y取得最小值，ymin=2000元．
答：當該樓房建造15層，可使樓房每平方米的平均綜合費用最少，最少值為2000元．

點評：函數(shù)的實際應用題，我們要經過析題→建模→解模→還原四個過程，在建模時要注意實際情況對自變量x取值范圍的限制，解模時也要實際問題實際考慮．將實際的最大（小）化問題，利用函數(shù)模型，轉化為求函數(shù)的最大（小）是最優(yōu)化問題中，最常見的思路之一．