Question

已知函數f（x）=ax²-e^x（a∈R）
（Ⅰ）當a=1時，判斷函數f（x）的單調區間并給予證明；
（Ⅱ）若f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），證明：-

e

2

＜f（x₁）＜-1．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究函數的極值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）a=1時，f（x）=x²-e^x，f′（x）=2x-e^x，f^″（x）=2-e^x，利用導數研究其單調性可得當x=ln2時，函數f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2-2＜0，即可得出．
（II）f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），可得f′（x）=2ax-e^x=0有兩個實根x₁，x₂（x₁＜x₂），由f^″（x）=2a-e^x=0，得x=ln2a．f′（ln2a）=2aln2a-2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．又f′（0）=-1＜0，f′（1）=2a-e＞0，可得0＜x₁＜1＜ln2a，進而得出．

解答： （Ⅰ）解：a=1時，f（x）=x²-e^x，
f′（x）=2x-e^x，f^″（x）=2-e^x，
令f^″（x）＞0，解得x＜ln2，此時函數f′（x）單調遞增；令f^″（x）＜0，解得x＞ln2，此時函數f′（x）單調遞減．
∴當x=ln2時，函數f′（x）取得最大值，f′（ln2）=2ln2-2＜0，
∴函數f（x）在R上單調遞減．
（Ⅱ）證明：f（x）有兩個極值點x₁，x₂（x₁＜x₂），∴f′（x）=2ax-e^x=0有兩個實根x₁，x₂（x₁＜x₂），
由f^″（x）=2a-e^x=0，得x=ln2a．
f′（ln2a）=2aln2a-2a＞0，得ln2a＞1，解得2a＞e．
又f′（0）=-1＜0，f′（1）=2a-e＞0，
∴0＜x₁＜1＜ln2a，
由f′（x₁）=2ax1-ex1=0，可得ax1=

ex1

2

，
f（x₁）=a

x

2 1

-ex1=

ex1

2

•x1-ex1=ex1(

x1

2

-1)（0＜x₁＜1）．
∴可知：x₁是f（x）的極小值點，
∴f（x₁）＜f（0）=-1．

點評：本題考查了利用導數（兩次求導）研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．