Question

10．長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個頂點落在球O的表面上，已知AB=3，AD=4，BB₁=5，那么球O的表面積為（　　）

• A． 25π
• B． 200π
• C． 100π
• D． 50π

Answer 1

分析 利用長方體的八個頂點都在球O的球面上，則長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑即可求出球的表面積．

解答 解：∵長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的八個頂點都在球O的球面上，
∴長方體的體對角線為外接球的直徑，
設球半徑為r，
則長方體的體對角線長為$\sqrt{9+16+25}$=5$\sqrt{2}$，
則2r=5$\sqrt{2}$，則r=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．
∴外接球的表面積為4πr²=4×（$\frac{5\sqrt{2}}{2}$）²π=50π．
故選：D．

點評 本題主要考查球的表面積公式的計算，根據長方體的體對角線和球直徑之間的關系求出球半徑是解決本題的關鍵．