Question

（2010•莆田模擬）已知函數f（x）=

1

3

x3-(a-1)x2+4ax，（a∈R）
（1）若函數y=f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增，在區間（0，1）上單調遞減，求實數a的值；
（2）若a＞1，且函數f（x）在區間[0，4]上的最大值為

16

3

，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導數，通過導數為0，根據函數的極值點，求出a的值即可．
（2）通過導數為0，結合a的范圍，與函數的單調性以及函數的最大值，推出

a＞1 4＞2a f(4)≥f(2)

，進而求出變量a的范圍．

解答：解：f′（x）=x²-2（a+1）x+4a，
（1）因為函數y=f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增，在區間（0，1）上單調遞減，
所以f′（0）=4a=0，得a=0，
又當a=0時，f′（x）=x²-2x，所以當x＜0時 f′（x）＞0，f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增，
當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在區間（0，1）上單調遞減．
綜上當a=0時，f（x）在區間（-∞，0）上單調遞增，f（x）在區間（0，1）上單調遞減．
（2）令f′（x）=0，得x₁=2，x₂=2a，因為a＞1，所以x₁＜x₂，
當x變化時，f（x）的值的變化情況如下：
注意到x∈[0，4]且f（2）=4a-

4

3

，f（4）=

16

3

．
因為f（x）在[0，4]上的最大值為

16

3

．
若2a≥4，即a≥2時，f（x）在[0，4]上的最大值為：f（2）=4a-

4

3

≥

20

3

＞

16

3

．不合題意．
所以

a＞1 4＞2a f(4)≥f(2)

，
即

1＜a＜2 4a- 4 3 ≤ 16 3

解得1＜a≤

5

3

．

點評：本題主要考查了函數的導數與函數單調性及函數的極值之間的關系的應用，求函數在閉區間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的．函數與方程之間的相互轉化的思想的應用．