Question

（2010•莆田模擬）若

a

，

b

是兩個非零向量，則（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2是

a

⊥

b

的（　　）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分且必要條件

D．既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：

a

，

b

是兩個非零向量，由（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=

a

2+

b

2，知2

a

•

b

=0，即

a

⊥

b

；由

a

⊥

b

，知2

a

•

b

=0，所以（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=

a

2+

b

2，故（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2是

a

⊥

b

的充分且必要條件．

解答：解：∵

a

，

b

是兩個非零向量，
（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=

a

2+

b

2，
∴2

a

•

b

=0，
∴

a

⊥

b

．
∴（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2⇒

a

⊥

b

；
若

a

⊥

b

，
則2

a

•

b

=0，
∴（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2+2

a

•

b

=

a

2+

b

2，
∴

a

⊥

b

⇒（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2．
故（

a

+

b

）²=

a

2+

b

2是

a

⊥

b

的充分且必要條件．
故選C．

點評：本題考查充分條件、必要條件、充要條件的判斷，是基礎題．解題時要認真審題，注意數量積判斷兩個平面向量垂直關系的靈活運用．