Question

設△ABC三個內角A，B，C所對邊分別為a，b，c，若

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，且a+c=8，則△ABC面積的最大值是

 

．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：由

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，利用比例的基本性質可得

a2+c2-b2

2a2

=

c

2a

，化為a²+c²-b²=ac，再利用余弦定理、基本不等式的性質、三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：∵

a2+c2-b2

a2+b2-c2

=

c

2a-c

，∴

a2+c2-b2

2a2

=

c

2a

，化為a²+c²-b²=ac，
由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

2

，
∵B∈（0，π），∴B=

π

3

．
∵a+c=8，∴8≥2

ac

，化為ac≤16，當且僅當a=c=4時取等號．
則△ABC面積S=

1

2

acsinB≤

1

2

×16×sin

π

3

=4

3

，
故答案為：4

3

．

點評：本題考查了比例的基本性質、余弦定理、基本不等式的性質、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．