Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，直線3x+4y+6=0與以橢圓C的上頂點為圓心，以橢圓C的長半軸長為半徑的圓相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C與x軸負半軸交于點A，過點A的直線AM、AN分別與橢圓C交于M、N兩點，k_AM、k_AN分別為直線AM、AN的斜率，k_AM•k_AN=-

3

4

，求證：直線MN過定點，并求出該定點坐標；
（3）在（2）的條件下，求△AMN面積的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系,橢圓的標準方程

專題：計算題,證明題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）由等邊三角形，得到a=2b，再由直線和圓相切的條件，得到5a=4b+6，解得a，b，即可得到橢圓方程；
（2）設出直線MN的方程，和M，N的坐標，把直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進而利用k_AM•k_AN=-

3

4

，求得k，t的關系，進而可求得直線MN恒過定點；
（3）設直線MN：x=my-1，聯立橢圓方程，消去x，運用韋達定理，再由△AMN面積為S=

1

2

|AQ|•|y₁-y₂|，代入化簡整理，再由對勾函數的性質，即可得到最大值．

解答： （1）解：由于短軸的頂點與右焦點的距離為a，
則由短軸的兩個頂點與右焦點的連線構成等邊三角形，則a=2b，
又直線3x+4y+6=0與以橢圓C的上頂點為圓心，以橢圓C的長半軸長為半徑的圓相切，
則d=

|0+4b+6|

32+42

=a，即有5a=4b+6，
解得，a=2，b=1．
則橢圓方程為：

x2

4

+y2=1；
（2）證明：設直線MN的方程為y=kx+t，M、N坐標分別為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
由

y=kx+t x2+4y2=4

⇒（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0．
判別式為64k²t²-4（1+4k²）（4t²-4）＞0，
∴x₁+x₂=-

8kt

1+4k2

，x₁x₂=

4t2-4

1+4k2

，
∵k_AM=

y1

x1+2

，k_AN=

y2

x2+2

，
∴k_AM•k_AN=

(kx1+t)(kx2+t)

(x1+2)(x2+2)

=

k2x1x2+kt(x1+x2)+t2

x1x2+2(x1+x2)+4

=-

3

4

，
將韋達定理代入，并整理得

t2-4k2

4t2-16kt+16k2

=-

3

4

，化簡得，t²-3kt+2k²=0，
即有t=k或t=2k，則直線MN的方程為y=k（x+1）或y=k（x+2），
由于A（-2，0），則直線MN恒過定點Q（-1，0）；
（3）解：△AMN面積為S=

1

2

|AQ|•|y₁-y₂|，
設直線MN：x=my-1，聯立橢圓方程，得到（4+m²）y²-2my-3=0，
則y₁+y₂=

2m

4+m2

，y₁y₂=

-3

4+m2

，
則S=

1

2

(y1+y2)2-4y1y2

=

1

2

( 2m 4+m2 )2+ 12 4+m2

=

2 3+m2

4+m2

=

2

3+m2 + 1 3+m2

令

3+m2

=u（u≥

3

），則u+

1

u

在[

3

，+∞）遞增，當u=

3

，即有m=0，
則u+

1

u

取最小值

4 3

3

，此時S取得最大值2×

3

4 3

=

3

2

．

點評：本題考查橢圓的方程和性質，考查直線和圓相切的條件，考查聯立直線方程和橢圓方程，消去未知數，運用韋達定理，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．