Question

下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側面與底面．

（1）請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，求證：平面SAC⊥平面SBD，并求點A到平面SBD的距離．

Answer 1

分析：（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一條側棱SA垂直于底面．
（2）證明出BD⊥面SAC即可證出平面SAC⊥平面SBD，由面面垂直的性質定理，由A向平面SAC與平面SBD的交線作垂線，構造直角三角形解決點A到平面SBD的距離．

解答：解：（1）存在一條側棱SA⊥平面ABCD，如圖所示．
∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．
（2）

SA⊥面ABCD BD?面ABCD

?BD⊥SA
又BD⊥AC，AC∩SA=A
由線面垂直的判定定理，
BD⊥面SAC，又BD?面SBD
由面面垂直的判定定理平面SAC⊥平面SBD    
設O為底面中心，則 平面SAC∩平面SBD=SO                                                             
過A作AH⊥SO，垂足為H，由面面垂直的性質定理，AH⊥面SBD，
所以AH即為所求，在直角三角形SAO中，SO²=SA²+AO^2₌ a2+(

2 a

2

) =

3

2

a2
   SA×AO=SO×AH，∴AH=

a× 2 a 2

6a 2

=

3a

3

          
                                                                     

點評：本題考查線面垂直、面面垂直定義，判定，性質．以及空間距離的求解．平面問題與空間問題相互轉化的思想方法，考查計算能力．