Question

（2006•宣武區一模）下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側面與底面．
（Ⅰ）請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側棱SA垂直于底面ABCD？如果存在，請給出證明；
（Ⅱ）若E為AB中點，求證：平面SEC⊥平面SCD；
（Ⅲ）求二面角B-SC-D的大小．

Answer 1

分析：（I）根據已知中的側面形狀，易判斷出SA⊥AB，SA⊥AD，進而根據線面垂直的判定定理，可得SA⊥面ABCD
（II）取SD中點F，SC的中點G，連結AF、FG、EG，先證出AF⊥面SCD，及四邊形AEGF為平行四邊形，進而得到EG⊥面SCD，最后由面面垂直的判定定理得到平面SEC⊥平面SCD
（III）過D作DH⊥SC于H，連結HB、BD，可得∴∠BHD為二面角B-SC-D的平面角，解Rt△SDC和△BHD可得答案．

解答：解：（I）存在一條側棱SA⊥面ABCD，如圖所示．

∵在△SAB中，SA⊥AB，
在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，AB，AD?面ABCD
∴SA⊥面ABCD…（4分）
（II）取SD中點F，SC的中點G，連結AF、FG、EG
∵SA⊥面ABCD，∴SA⊥CD
又∵CD⊥AD且SA∩AD=A
∴CD⊥面SAD
∴CD⊥AF
∵Rt△SAD中，SA=AD，
∴AF⊥SD
又∵CD∩SD=D，
∴AF⊥面SCD
∵FG∥CD，FG=

1

2

CD，AE∥CD，AE=

1

2

CD，
∴FG∥AE，FG=AE
∴四邊形AEGF為平行四邊形
∴EG∥AF
∴EG⊥面SCD
又∵EG?面SEC，
∴平面SEC⊥平面SCD…（9分）
（III）過D作DH⊥SC于H，連結HB、BD
∵△SBH≌△SDH
∴∠BHS=∠DHS=90°
∴BH⊥SC
∴∠BHD為二面角B-SC-D的平面角
Rt△SDC中，DH=

SD?DC

SC

=

2 a?a

3 a

=

6

3

a
△BHD中，cos∠BHD=

BH2+DH2-BD2

2?BH?DH

=

( 6 3 a)2+( 6 3 a)2-( 2 a)2

2• 6 3 a• 6 3 a

=-

1

2

∴∠BHD=120°
∴二面角B-SC-D的大小為120°…（14分）

點評：本題考查的知識點是二面角的平面角及求法，平面與平面垂直的判定，解答（I）（II）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉化，解答（III）的關鍵是確定二面角的平面角．