Question

16、下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側面與底面．

（1）請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說明理由；
（2）若SA⊥面ABCD，E為AB中點，求證面SEC⊥面SCD．

Answer 1

分析：（1）由 SA⊥AB，SA⊥AD 可得，存在一條側棱SA垂直于底面．
（2）分別取SC、SD的中點G、F，可證AF∥EG．證明CD⊥AF，AF⊥SD，從而證明 AF⊥面SCD，故EG⊥面SCD，從而證得面SEC⊥面SCD．

解答：解：（1）存在一條側棱垂直于底面．
證明：∵SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD內的交線，
∴SA⊥底面ABCD．
（2）分別取SC、SD的中點G、F，連GE、GF、FA，
則GF∥EA，GF=EA，∴AF∥EG．
而由SA⊥面ABCD得 SA⊥CD，
又AD⊥CD，∴CD⊥面SAD，∴CD⊥AF，
又SA=AD，F是中點，∴AF⊥SD，
∴AF⊥面SCD，EG⊥面SCD，∴面SEC⊥面SCD．

點評：本題考查證明線面垂直、面面垂直的方法，體現了數形結合的數學思想，證明AF⊥面SCD是解題的關鍵．