Question

下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面．
（I）請畫出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在，請給出證明；如果不存在，請說理理由；
（II）若E為AB中點，求證：平面SEC⊥平面SCD．

Answer 1

分析：（I）欲證SA⊥平面ABCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證SA與平面ABCD內(nèi)兩相交直線垂直，SA⊥AB，SA⊥AD，AB∩AD=A，滿足定理條件；
（II）以A為坐標原點，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標系A-xyz，取SC中點G，連接EG，SE，EC，根據(jù)向量的數(shù)量積可知EG⊥CD，EG⊥SC，SC∩CD=C，滿足線面垂直的判定定理，從而EG⊥平面SDC，再根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論．

解答：解：（I）存在一條側(cè)棱SA⊥平面ABCD，如圖所示．（注：其中圖正確給2分）（3分）
∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．?

（II）以A為坐標原點建立空間直角坐標系A-xyz．
取SC中點G，連接EG，SE，EC，
則A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），S（0，0，a），E(

a

2

，0，0)，G(

a

2

，

a

2

，

a

2

)．
∵

EG

=(0，

a

2

，

a

2

)，

CD

=(-a，0，0)，

SC

=(a，a，-a)
∵

EG

•

CD

=0，∴EG⊥CD（7分）
∵

EG

•

SC

=

a2

2

-

a2

2

=0，∴EG⊥SC．
又∵SC∩CD=C，∴EG⊥平面SDC?，而EG?平面SEC
∴平面SEC⊥平面SCD

點評：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角及其度量和空間向量等有關(guān)知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題．