Question

4．已知數列{a_n} 的前n項和${S_n}=3{n^2}+8n$，{b_n}是等差數列，且a_n=b_n+b_n+1；
（1）求數列{b_n}的通項公式；
（2）求${c_n}=\frac{{3{a_n}}}{{{b_n}-11}}$的最大項的值，并指出是第幾項．

Answer 1

分析 （1）運用n=1，a₁=S₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，可得a_n，再由等差數列的通項公式可得b_n的通項或由n=1，n=2，解方程可得b_n的通項；
（2）求出c_n，變形，運用n≥4時，c_n遞減，且n=1，2，3均為負的，即可得到所求最大值．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=3+8=11，
當n≥2時，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=3{n^2}+8n-3{（n-1）^2}-8（n-1）=6n+5$，
又a_n=6n+5對n=1也成立，
所以a_n=6n+5．
又因為{b_n}是等差數列，設首項為b₁，公差為d，
則由a_n=b_n+b_n+1得：6n+5=（2d）n+（2b₁-d），且該等式恒成立，
所以：$\left\{\begin{array}{l}2d=6\\ 2{b_1}-d=5\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{b_1}=4\\ d=3\end{array}\right.$，所以b_n=3n+1；
法二：當n=1時，2b₁=11-d；當n=2時，2b₂=17-d，
相減可得d=3，所以數列{b_n}的通項公式為${b_n}=\frac{{{a_n}-d}}{2}=3n+1$．
（2）${c_n}=\frac{{3{a_n}}}{{{b_n}-11}}$=$\frac{{3（{6n+5}）}}{{（{3n+1}）-11}}$=$6+\frac{25}{{n-\frac{10}{3}}}$，
由n≥4時，c_n遞減，且c₄=$\frac{87}{2}$；又c₁＜0，c₂＜0，c₃＜0，
所以當n=4的時候取得最大值$\frac{87}{2}$．

點評 本題考查數列通項的求法，注意運用數列遞推式和等差數列通項公式，考查數列中的最大值，注意運用數列的單調性，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．