Question

在R上定義運算?：x?y=x（l-y），若對任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，則實數a的取值范圍是（　　）

• A、（-∞，-3）
• B、（-∞，7]
• C、（-∞，1]
• D、（-∞，1]∪[7，+∞）

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：依題意，由新定義：x?y=x（l-y）可得，a≤

x2-x+2

x-2

=

[(x-2)+2]2-(x-2)

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+3（x＞2）恒成立，構造函數f（x）=（x-2）+

4

x-2

+3（x＞2），利用基本不等式可求得f（x）_min，從而可得實數a的取值范圍．

解答： 解：由（x-a）?x≤a+2，得（x-a）（1-x）≤a+2，即a（x-2）≤x²-x+2，
因為對任意x＞2，不等式（x-a）?x≤a+2都成立，
所以，a≤

x2-x+2

x-2

=

[(x-2)+2]2-(x-2)

x-2

=（x-2）+

4

x-2

+3（x＞2）恒成立，
令f（x）=（x-2）+

4

x-2

+3（x＞2），
則a≤f（x）_min，因為對任意x＞2，f（x）=（x-2）+

4

x-2

+3≥2

(x-2)• 4 x-2

+3=7，當且僅當x-2=

4

x-2

，即x=4時取“=”．
所以，a≤7．
故選：B．

點評：本題考查新定義運算“?”，考查不等式的解法及“雙鉤”函數的性質及其應用，考查等價轉化思想與恒成立問題，考查運算求解能力，屬于中檔題．