Question

已知一個(gè)正三棱錐PABC的正視圖如圖所示，若AC=BC=

3

2

，PC=

6

，則此正三棱錐的表面積為

 

，該正三棱錐的內(nèi)切球體積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：球內(nèi)接多面體

專題：計(jì)算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：求正三棱錐的表面積即求三個(gè)側(cè)面面積與底面面積的和，故求解本題需要求出底面三角形的邊長，側(cè)面上的側(cè)高；正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為

1

4

×

6

=

6

4

，可得內(nèi)切球體積．

解答： 解：由題設(shè)條件及主視圖知底面三角形的邊長是3，頂點(diǎn)到底面的距離是

6

，
故底面三角形各邊上的高為3×

3

2

=

3 3

2

，
令頂點(diǎn)P在底面上的投影為M，由正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征知M到三角形各邊中點(diǎn)的距離是底面三角形高的

1

3

，為

3

2

，
故側(cè)高為

6+ 3 4

=

3 3

2

，
故此正三棱錐的表面積為3×

1

2

×

3 3

2

×3+

1

2

×

3 3

2

×3=9

3

；
正三棱錐的內(nèi)切球的半徑為

1

4

×

6

=

6

4

，內(nèi)切球體積為

4

3

π×(

6

4

)3=

3 6

4

π．
故答案為：9

3

，

3 6

4

π．

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是由三視圖求面積與體積，三視圖的作圖規(guī)則是主視圖與俯視圖長對(duì)正，主視圖與側(cè)視圖高平齊，側(cè)視圖與俯視圖是寬相等，本題是考查利用三視圖的作圖規(guī)則把三視圖中的數(shù)據(jù)還原到原始圖形中來，求面積與體積，做題時(shí)要注意正確利用三視圖中所提供的信息．