Question

如圖，在空間直角坐標系O-xyz中，正四棱錐P-ABCD的側棱長與底邊長都為，點M，N分別在PA，BD上，且．

（1）求證：MN⊥AD；
（2）求MN與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

（1）詳見解析，（2）

試題分析：（1）首先表示正四棱錐各點坐標，再準確把垂直關系的判定轉化為對應向量數量積為零，利用坐標形式進行計算，（2）直線與平面所成的角的計算，關鍵仍是平面的法向量的計算.利用向量垂直列出方程組，可解出法向量；再利用數量積，根據法向量與直線方向向量的余弦值的絕對值求直線與平面所成角的正弦值. 由于直線與平面所成角與法向量與直線方向向量的夾角不是相等或互補關系，而是互余或相差因此直線與平面所成角的正弦值等于法向量與直線方向向量的余弦值的絕對值，這是本題易錯點.
試題解析：（1）因為正四棱錐的側棱長與底邊長都為.
     2分
則

則     4分

     5分
（2）設平面的法向量為

由得
取得
     7分
則     9分
設與平面所成角為
則
所以與平面所成角的正弦值為     10分