Question

【題目】已知函數f（x）=lnx﹣ax2（a∈R）
（Ⅰ） 討論f（x）的單調性；
（Ⅱ） 若對于x∈（0，+∞），f（x）≤a﹣1恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞）． 因為 ，
所以：（i）當a≤0時，f'（x）＞0對x∈（0，+∞）恒成立，
所以f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
（ii）當a＞0時，令 或 （舍）
當 時，f'（x）＞0；當 時，f'（x）＜0．
所以f（x）在 上單調遞增；f（x）在 上單調遞減．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a+1=lnx﹣ax2﹣a+1（x＞0）
則依題意，g（x）=lnx﹣ax2﹣a+1≤0對x∈（0，+∞）恒成立．
由于 ，所以由（1）可知：
當a≤0時，g（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當a＞0時，g（x）在 上單調遞增；在 上單調遞減．
此時，g（x）在 處取得最大值．
若a≤0，因為g（1）=﹣2a+1＞0，顯然與題設相矛盾；
若a＞0，則題設等價于 （*），
不妨設 ，則 ．
所以（*）式等價轉化為 （t＞0）．
記 ，則F（1）=0．
因為 ，所以F（t）在（0，+∞）上單調遞增．
所以F（t）≤00＜t≤1，
即： ，解得， ．
所以所求的實數a的取值范圍為
【解析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論a的范圍求出函數的單調區間即可；（Ⅱ）根據g（x）=lnx﹣ax2﹣a+1≤0對x∈（0，+∞）恒成立．求出函數的導數，通過討論a的范圍，判斷函數的單調性，從而求出a的范圍即可．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減才能得出正確答案．