Question

【題目】已知橢圓的焦點與雙曲線的焦點重合，并且經過點.

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；

（II） 設橢圓C短軸的上頂點為P，直線不經過P點且與相交于、兩點，若直線PA與直線PB的斜率的和為，判斷直線是否過定點，若是，求出這個定點，否則說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（II）過定點。

【解析】

（Ⅰ）推導出，從而焦點F1（，0），F2（，0），由橢圓定義得a＝2，b＝1，由此能求出橢圓的標準方程．

（II）先考慮斜率不存在時，不存在兩個交點，舍去，斜率存在時設直線l方程為：y＝kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），由得及，代入1中，得到m＝﹣2k﹣1，代入直線方程即可得到定點．

（Ⅰ）雙曲線的焦點為,,亦即橢圓C的焦點，

∴，

又橢圓經過點.

由橢圓定義得，

解得，

∴橢圓的方程為：．
（II）當斜率不存在時，設，

，

得t=2，此時過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足題意.

當斜率存在時，設，

，

聯立，整理得 ，

，

，

，此時，存在使得成立．

∴直線的方程為，即，

當，時，上式恒成立，所以過定點．