Question

11．已知$a=\int_0^π{sinxdx}$，則二項式${（{1-\frac{a}{x}}）^6}$的展開式中x^-3的系數為-160．

Answer 1

分析 求定積分得a的值，在二項展開式的通項公式中，令x的冪指數等于-3，求出r的值，即可求得展開式中x^-3的系數．

解答 解：$a=\int_0^π{sinxdx}$=-cosx${|}_{0}^{π}$=2，
則二項式${（{1-\frac{a}{x}}）^6}$=${（1-\frac{2}{x}）}^{6}$的展開式的通項公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-2）^r•x^-r，
令-r=-3，可得r=3，故展開式中x^-3的系數為${C}_{6}^{3}$•（-2）³=-160，
故答案為：-160．

點評 本題主要考查求定積分，二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．