Question

已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線過點P（2，1）．
（1）求拋物線的標準方程；
（2）過點P作直線l與拋物線有且只有一個公共點，求直線l的方程；
（3）過點Q（1，1）作直線交拋物線于A，B兩點，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設拋物線的標準方程為 x²=2py，把點P（2，1）代入可得 p 值，從而求得拋物線的標準方程．
（2）當斜率不存在時，直線方程為x=2 符合題意；當斜率存在時，先設直線方程并聯立拋物線方程，得出△=0，即可求出結果．
（3）由題意可知，AB的斜率存在，設AB的方程為 y-1=k（x-1），代入拋物線的標準方程化簡，由x₁+x₂=2，求得k的值，從而得到AB的方程．
解答：解：（1）設拋物線的標準方程為  x²=2py，把點P（2，1）代入可得 4=2p，∴p=2，
故所求的拋物線的標準方程為x²=4y．
（2）i當斜率不存在時，直線方程為x=2 符合題意
ii當斜率存在時，設直線方程為：y-1=k（x-2）即y=kx-2k+1
聯立方程可得，整理可得x²-4kx+8k-4=0
∵直線與拋物線只有一個公共點
∴△=16k²-32k+16=0
∴k=1
綜上可得，x-y-1=0，x=2，
（3）由題意可知，AB的斜率存在，設AB的方程為 y-1=k（x-1），代入拋物線的標準方程為x²=4y 可得
x²-4kx+4k-4=0，∴x₁+x₂=4k=2，∴k=，∴AB的方程為 y-1=（x-1），
即x-2y+1=0．
點評：本題考查拋物線的標準方程，直線和圓錐曲線的位置關系，線段的中點公式的應用，得到 x₁+x₂=4k=2，是解題的關鍵．