Question

已知頂點在原點、焦點F在y軸正半軸上的拋物線Q₁過點（2，1），拋物線Q₂與Q₁關于x軸對稱．
（I）求拋物線Q₂的方程；
（II）過點F的直線交拋物線Q₁于點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂），過A、B分別作Q₁的切線l₁，l₂，記直線l₁與Q₂的交點為M（m₁，n₁），N（m₂，n₂）（m₁＜m₂），求證：拋物線Q₂上的點S（s，t）若滿足條件m₂s=4，則S恰在直線l₂上．

Answer 1

分析：（I）設出拋物線Q₁對應的標準方程，代入點（2，1），則求得拋物線Q₁的方程；然后根據拋物線Q₂與Q₁關于x軸對稱，則焦點關于x軸對稱，開口方向相反，顯然易得拋物線Q₂的方程．
（II）先設出直線AB的方程；然后與拋物線Q₁聯立方程組并消y，得關于x的一元二次方程，并由韋達定理表示出x₁x₂的值；再根據直線l₁、l₂是拋物線Q₁的切線，則通過導數求其斜率，進而表示出l₁、l₂的方程；由于點S（s，t）的橫坐標s與m₂有等量關系m₂s=4，則從點N（m₂，n₂）入手，把n₂用m₂的代數式替換，并根據點N在直線l₁上建立等量關系式；再根據
x₁x₂=-4用x₂替換x₁，經變形使剛才的等式與直線l₂的方程形式更加接近；最后由點S（s，t）在Q₂上，滿足t=-

s2

4

，則代入形如l₂方程的等式，使點S（s，t）的坐標s、t恰好滿足直線l₂的方程．則問題解決．

解答：解：（I）設拋物線Q₁方程為x²=2py（p＞0），
依題意知4=2p∴p=2．
∴Q₁：x²=4y
又∵拋物線Q₂與Q₁關于x軸對稱
∴拋物線Q₂的方程為：x²=-4y．
（II）由題意知AB 的斜率存在，且過焦點（0，1），所以設直線方程為：y=kx+1．
聯立

x2=4y y=kx+1

消y得：x²-4kx-4=0．則x₁x₂=-4．
∵拋物線Q₁的方程為x²=4y，即y=

1

4

x2．
∴y′=

1

2

x，則直線l₁的方程為y-y₁=

x1

2

（x-x₁）
又y₁=

1

4

x12∴直線l₁的方程為y=

x1

2

x-

x12

4

同理可得直線l₂的方程為y=

x2

2

x-

x22

4

∵N（m₂，n₂）在直線l₁上，且n₂=-

m22

4

∴-

m22

4

=

x1

2

m₂-

x12

4

①．
又∵x₁x₂=-4，m₂s=4∴x₁=-

4

x2

，m₂=

4

s

則代入①式得：

1

4s2

=

1

2x2s

+

1

4x22

兩邊同乘以s²x₂²，得

x22

4

=

x2

2

s+

s2

4

，即-

s2

4

=

x2

2

s-

x22

4

而t=-

s2

4

，∴t=

x2

2

s-

x22

4

，即點S（s，t）滿足直線l₂的方程．
故點S恰在直線l₂上．

點評：直線與圓錐曲線的相交問題，一般需聯立方程組，并消元得一元二次方程，進而利用韋達定理來處理；再者，要證明點恒在線上，需始終明確目標（即欲證點的坐標滿足直線方程），從相對復雜的關系中不斷變形，最終到達目的地．