Question

已知頂點在原點，焦點在x軸上的拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為

15

．
（1）求拋物線的方程；
（2）若拋物線與直線y=2x-5無公共點，試在拋物線上求一點，使這點到直線y=2x-5的距離最短．

Answer 1

分析：（1）設拋物線的方程為y²=2px，由

y2=2px y=2x+1

，得4x2-(2p-4)x+1=0，x1+x2=

p-2

2

，x1x2=

1

4

，由拋物線被直線y=2x+1截得的弦長為

15

能求出拋物線方程．
（2）法一、拋物線y²=-4x與直線y=2x-5無公共點，設點P(-

t2

4

，t)為拋物線y²=-4x上的任意一點，點P到直線y=2x-5的距離為d，則d=

|2×(- t2 4 )-t-5|

5

=

t2+2t+10

2 5

，故當t=-1時，d取得最小值．
法二、拋物線y²=-4x與直線y=2x-5無公共點，設與直線y=2x-5平行且與拋物線y²=-4x相切的直線方程為y=2x+b，
切點為P，則點P即為所求點，由此能求出結果．

解答：解：（1）設拋物線的方程為y²=2px，則

y2=2px y=2x+1

，
消去y得4x2-(2p-4)x+1=0，x1+x2=

p-2

2

，x1x2=

1

4

…2
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

( p-2 2 )2-4× 1 4

=

15

，…4
則

p2 4 -p

=

3

，p²-4p-12=0，
∴p=-2，或p=6，
∴y²=-4x，或y²=12x…6
（2）解法一、顯然拋物線y²=-4x與直線y=2x-5無公共點，
設點P(-

t2

4

，t)為拋物線y²=-4x上的任意一點，
點P到直線y=2x-5的距離為d，
則d=

|2×(- t2 4 )-t-5|

5

=

t2+2t+10

2 5

…10
當t=-1時，d取得最小值，
此時P(-

1

4

，-1)為所求的點          …12
解法二、顯然拋物線y²=-4x與直線y=2x-5無公共點，
設與直線y=2x-5平行且與拋物線y²=-4x相切的直線方程為y=2x+b，
切點為P，則點P即為所求點．…7
由

y=2x+b y2=-4x

，
消去y并化簡得：4x²+4（b+1）x+b²=0，…9
∵直線與拋物線相切，
∴△=16（b+1）²-16b²=0，
解得：b=-

1

2

把b=-

1

2

代入方程4x²+4（b+1）x+b²=0并解得：x=-

1

4

，∴y=-1
故所求點為P(-

1

4

，-1)．                                             …12

點評：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．