Question

36、已知x∈R，奇函數f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上單調．
（1）求字母a，b，c應滿足的條件；
（2）設x₀≥1，f（x₀）≥1，且滿足f[f（x₀）]=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

分析：（1）因為函數是奇函數且函數在x=0處有意義所以f（0）=0求出c，由f（x）+f（-x）=0求出a，求出函數的導函數，由函數在[1，+∞）單調，得到f'（x）≥0恒成立或f'（x）≤0恒成立求出b的范圍即可；
（2）利用反證法，先假設假設f（x₀）≠x₀，不妨設f（x₀）=a＞x₀≥1，根據f（x）在[1，+∞）上單調遞增，
得到f[f（x₀）]=f（a）＞f（x₀）＞x₀，與已知矛盾，假設錯誤，原命題正確．

解答：解：（1）∵f（0）=0?c=0；f（x）+f（-x）=0?a=0．∵f'（x）=3x²-b，
若f（x）x∈[1，+∞）上是增函數，則f'（x）≥0恒成立，即b≤（3x²）_min=3
若f（x）x∈[1，+∞）上是減函數，則f'（x）≤0恒成立，這樣的b不存在．
綜上可得：a=c=0，b≤3．
（2）假設f（x₀）≠x₀，不妨設f（x₀）=a＞x₀≥1，
由（1）可知f（x）在[1，+∞）上單調遞增，故f[f（x₀）]=f（a）＞f（x₀）＞x₀，
這與已知f[f（x₀）]=x₀矛盾，故原假設不成立，即有f（x₀）=x₀．

點評：考查學生利用導數研究函數的單調性的能力，以及會用反證法進行命題的證明．