Question

8、已知x∈R，奇函數f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上單調，則字母a，b，c應滿足的條件是

4a²+12b≤0，c=0

．

Answer 1

分析：由“函數f（x）=x³-ax²-bx+c是奇函數”可得f（0）=0，再由“函數f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上單調”得到f′（x）=3x²-2ax-b≥0或f′（x）=3x²-2ax-b≤0恒成立求解．

解答：解：∵函數f（x）=x³-ax²-bx+c是奇函數
∴f（0）=0
∴c=0
∴f′（x）=3x²-2ax-b
又∵函數f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上單調
∴f′（x）=3x²-2ax-b≥0或f′（x）=3x²-2ax-b≤0（舍去）恒成立
∴△=4a²+12b≤0
故答案為：4a²+12b≤0，c=0

點評：本題主要考查函數的奇偶性及單調性的應用，這類題目考查較多，特別是單調性的應用更廣，往往能解決或轉化恒成立問題．