Question

已知x∈R，奇函數f（x）=x³-ax²-bx+c在[1，+∞）上單調，則實數b的取值范圍是

{b|b≤3}

．

Answer 1

分析：由f（x）是R上的奇函數得f（0）=0，f（x）在[1，+∞）上單調得f′（x）≥0或f′（x）≤0恒成立，求出b的取值范圍．

解答：解：∵f（x）=x³-ax²-bx+c是R上的奇函數，
∴f（0）=c=0，f（-x）=-f（x），∴a=0；∴f（x）=x³-bx；
∴f′（x）=3x²-b；
又∵函數f（x）在[1，+∞）上單調，
∴f′（x）=3x²-b≥0恒成立，或f′（x）=3x²-b≤0恒成立；
∴只有b≤3x² 在[1，+∞）上恒成立，即b≤3；
故答案為：{b|b≤3}

點評：本題考查了函數的奇偶性及單調性的應用問題，以及應用導數來研究函數的單調性問題，是中檔題．