Question

將函數y=sin（x-

π

3

）的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍，再把所得的圖象上所有點的橫坐標向左平移

π

3

個單位長度后，得到函數f（x）的圖象．
（1）求f（x）在[0，2π]上的單調遞增區間；
（2）設函數g（x）=（1+sinx）f（x），求g（x）的值域．

Answer 1

考點：函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換,正弦函數的圖象

專題：函數的性質及應用,三角函數的圖像與性質

分析：（1）變換后函數解析式為f（x）=2sinx，從而可得f（x）在[0，2π]上的單調遞增區間是[0，

π

2

]∪[

3π

2

，2π]．
（2）化簡得g（x）=2（sinx+

1

2

）²-

1

2

，從而可求g（x）的值域．

解答： 解：將函數y=sin（x-

π

3

）的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍，得到y=2sin（x-

π

3

）的圖象；
再把所得的圖象上所有點的橫坐標向左平移

π

3

個單位長度后，得到函數f（x）=2sin[（x+

π

3

）-

π

3

]=2sinx的圖象．
（1）∵f（x）=2sinx，正弦函數的單調遞增區間是[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z
∴f（x）在[0，2π]上的單調遞增區間是[0，

π

2

]∪[

3π

2

，2π]．
（2）∵g（x）=（1+sinx）f（x）=（1+sinx）2sinx=2（sin²x+sinx）=2（sinx+

1

2

）²-

1

2

∵sinx∈[-1，1]
∴當sinx=1時，函數f（x）取到最大值為4，
當sinx=-

1

2

時，函數f（x）取到最小值為-

1

2

，
綜上函數g（x）的值域是[-

1

2

，4]．

點評：本題主要考察了函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，三角函數的圖象與性質，函數值域的解法，屬于基本知識的考查．