Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F為棱AD、AB的中點．
（1）求證：平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（2）若正方體的棱長為2，求四邊形EFB₁D₁的面積；
（3）求二面角B₁-EF-C的余弦值（向量法除外）．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由正方形A₁B₁C₁D₁，可得B₁D₁⊥A₁C₁，由正方體AC₁可得CC₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，因此CC₁⊥B₁D₁，可得B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．即可證明平面
CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（2）連接BD交AC于點O，連接OO₁，EO₁．利用三角形的中位線定理可得EF=

1

2

BD=

2

，EF∥BD∥B₁D₁．利用勾股定理可得O₁G=

O1O2+OG2

．再利用梯形的面積計算公式即可得出．
（3）由（2）可知：EF⊥OG，EF⊥O₁G．因此∠O₁GO是二面角B₁-EF-C的平面角．利用直角三角形的邊角關系即可得出．

解答： （1）證明：由正方形A₁B₁C₁D₁，可得B₁D₁⊥A₁C₁，
由正方體AC₁可得CC₁⊥底面A₁B₁C₁D₁，
∴CC₁⊥B₁D₁，
又A₁C₁∩CC₁=C₁．
∴B₁D₁⊥平面CAA₁C₁．
∴平面CAA₁C₁⊥平面CB₁D₁；
（2）解：連接BD交AC于點O，連接OO₁，EO₁．
∵E、F為棱AD、AB的中點，AB=2．
∴EF=

1

2

BD=

2

，EF∥BD∥B₁D₁．
OG=

2

2

．
∴O₁G=

O1O2+OG2

=

3 2

2

．
∴梯形EFB₁D₁的面積S=

(EF+B1D1)×O1G

2

=

( 2 +2 2 )× 3 2 2

2

=

9

2

．
（3）解：由（2）可知：EF⊥OG，EF⊥O₁G．
∴∠O₁GO是二面角B₁-EF-C的平面角．
∴cos∠O₁GO=

OG

O1G

=

2 2

3 2 2

=

1

3

．
∴二面角B₁-EF-C的余弦值為

1

3

．

點評：本題考查了正方體與正方形的性質、線面面面平行與垂直的判定與性質定理、勾股定理、二面角、梯形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．