Question

已知動點P（x，y）滿足

y≥1 x+2y≤5 x+y≥3

，點Q（1，-1），O為坐標原點，λ|

OP

|=

OP

•

OQ

，則實數λ的取值范圍是（　�。�

• A、[-

  10

  5

  ，-

  5

  5

  ]
• B、[

  5

  5

  ，

  10

  5

  ]
• C、[-

  10

  5

  ，

  5

  5

  ]
• D、[-

  5

  5

  ，

  10

  5

  ]

Answer 1

考點：簡單線性規劃

專題：不等式的解法及應用

分析：根據向量的數量積公式將條件進行化簡，利用數形結合即可得到結論．

解答： 解：∵λ|

OP

|=

OP

•

OQ

=|

OP

|•|

OQ

|cos＜

OP

，

OQ

＞，
∴λ=|

OQ

|cos＜

OP

，

OQ

＞=

2

cos＜

OP

，

OQ

＞，
作出不等式組對應的平面區域如圖，
則OQ，OA的夾角最小，OQ，OB的夾角最大，
由

y=1 x+2y=5

，解得

x=3 y=1

，即A（3，1），
由

x+2y=5 x+y=3

，解得

x=1 y=2

，即B（1，2），
則

OA

=(3，1)，

OB

=(1，2)，
則cos＜

OA

，

OQ

＞=

OA • OQ

| OA || OQ |

=

3-1

2 • 10

=

2

2 5

=

5

5

，
cos＜

OB

，

OQ

＞=

OB • OQ

| OB || OQ |

=

1-2

5 • 2

=-

10

10

，
∴-

10

10

≤cos＜

OP

，

OQ

＞≤

5

5

，
即-

5

5

≤

2

cos＜

OP

，

OQ

＞≤

10

5

，
即-

5

5

≤λ≤

10

5

，
故選：D

點評：本題主要考查線性規劃的應用，結合向量數量積的應用，利用數形結合是解決本題的關鍵．綜合性較強，難度較大．