Question

8．曲線y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$與直線y=k（x-2）+4有兩個不同交點的充要條件是$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 先確定曲線的性質，然后結合圖形確定臨界狀態，結合直線與圓相交的性質，可解得k的取值范圍．

解答 解：y=1+$\sqrt{4-{x^2}}$可化為x²+（y-1）²=4，y≥1，所以曲線為以（0，1）為圓心，2為半徑的圓y≥1的部分．
直線y=k（x-2）+4過定點P（2，4），由圖知，當直線經過A（-2，1）點時恰與曲線有兩個交點，順時針旋轉到與曲線相切時交點變為一個．
且k_AP=$\frac{3}{4}$，由直線與圓相切得d=$\frac{|-1+4-2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{5}{12}$．
則實數k的取值范圍為$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{12}＜k≤\frac{3}{4}$．

點評 本題考查直線與圓相交的性質，同時考查了學生數形結合的能力，是個基礎題．