Question

已知AB為球O的一條直徑，△BCD是球O的內接正三角形且邊長為2，若三棱錐A-BCD的體積為1，則球O的表面積為

 

．

Answer 1

考點：球的體積和表面積

專題：計算題,空間位置關系與距離,球

分析：過O作OH⊥平面BCD，H為平面BCD的中心，求出OH，則A到平面BCD的距離為2OH．求出三角形BCD的面積，運用三棱錐的體積公式，求得R，再由球的表面積公式，即可得到．

解答： 解：∵AB是球的直徑，D、C兩點在球面，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵AB=2R，BC=BD=CD=2，
過O作OH⊥平面BCD，
H為平面BCD的中心，
且BE=

3

2

×2=

3

，即有BH=

2 3

3

，
OH=

R2- 4 3

，則A到平面BCD的距離為2OH．
由于V_A-BCD=1，即

1

3

•2OH•S_△BCD=1，
即有2

R2- 4 3

•

3

4

•4=3，
解得，R²=

25

12

，
則球的表面積為S=4πR²=

25π

3

．
故答案為：

25π

3

．

點評：本題給出特殊的球內接三棱錐，著重考查了球內接多面體、錐體體積公式及球的表面積公式等知識，屬于基礎題．