Question

設(shè)a是實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=ax²+2（a-1）x-2lnx．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（x₀，y₀）處的切線方程為l：y=h（x），當(dāng)x≠x₀時(shí)，若

g(x)-h(x)

x-x0

＜0在D內(nèi)恒成立，則稱點(diǎn)P為函數(shù)y=g（x）的“平衡點(diǎn)”．當(dāng)a=1時(shí)，試問函數(shù)y=f（x）是否存在“平衡點(diǎn)”？若存在，請(qǐng)求出“平衡點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，f′（x）=2ax+2（a-1）-

2

x

=

(2ax-2)(x+1)

x

（x＞0），分當(dāng)a≤0時(shí)，與a＞0時(shí)，討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得出單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)p（x₀，y₀）為函數(shù)f（x）=x²-2lnx圖象上一點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為：y-x02+2lnx₀=（2x₀-

2

x0

）（x-x₀）得h（x）的表達(dá)式，
構(gòu)造函數(shù)F（x）=f（x）-h（x）=x²-2lnx-（2x0x-x02-

2x

x0

+2-2lnx0），求導(dǎo)研究F（x）的單調(diào)性，再驗(yàn)證

g(x)-h(x)

x-x0

＜0是否恒成立．

解答： 解：（1）f′（x）=2ax+2（a-1）-

2

x

=

(2ax-2)(x+1)

x

（x＞0）
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）≤0在x＞0上恒成立；
當(dāng)a＞0時(shí)，在x∈（0，

1

a

）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0
所以，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的減區(qū)間為（0，

1

a

），增區(qū)間為（

1

a

，+∞）．
（2）設(shè)p（x₀，y₀）為函數(shù)f（x）=x²-2lnx圖象上一點(diǎn)，則函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)P處的切線方程為：y-x02+2lnx₀=（2x₀-

2

x0

）（x-x₀）
即：h（x）=2x0x-x02-

2x

x0

+2-2lnx0．
令F（x）=f（x）-h（x）=x²-2lnx-（2x0x-x02-

2x

x0

+2-2lnx0）．
則F′（x）=2x-

2

x

-2x₀+

2

x0

=2(x-x0)(1+

1

x0x

)，
因?yàn)閤＞0，x₀＞0
所以，當(dāng)0＜x＜x₀時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，當(dāng)x＞x₀時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0
即函數(shù)F（x）在（0，x₀）上為減函數(shù)，在（x₀，+∞）上為增函數(shù)，
所以，F(xiàn)（x）≥F（x₀）=0
那么，當(dāng)x＜x₀時(shí)，

F(x)

x-x0

=

f(x)-h(x)

x-x0

＜0；
當(dāng)x＞x₀時(shí)，

F(x)

x-x0

=

f(x)-h(x)

x-x0

＞0；
因此，函數(shù)f（x）在x∈（0，+∞）不存在“平衡點(diǎn)”．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，對(duì)于題目出現(xiàn)新定義的問題，讀懂定義的內(nèi)涵是關(guān)鍵．