Question

已知sin（2α+β）+2sinβ=0，求證：tanα=3tan（α+β）．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數

專題：三角函數的求值

分析：把已知等式左邊的角β變為（α+β）-α，右邊的角2α+β變為（α+β）+α，然后左右兩邊分別利用兩角和與差的正弦函數公式化簡，移項合并后，在等式兩邊同時除以cosαcos（α+β），利用同角三角函數間的基本關系變形可得證．

解答： 證明：將條件化為：sin[（α+β）+α]+2sin[（α+β）-α]=0，
展開得：sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα+2sin（α+β）cosα-2cos（α+β）sinα=0，
即：3sin（α+β）cosα=cos（α+β）sinα，
由cos（α+β）cosα≠0，兩邊同除以cos（α+β）cosα，
可得：tanα=3tan（α+β）=．（12分）

點評：此題考查了三角函數的恒等式的證明，用到的知識有：兩角和與差的正弦函數公式，以及同角三角函數間的基本關系，把已知等式左右兩邊的角度靈活變換是本題的突破點．