Question

20．數列{a_n}的前n項和為S_n，若a₁=1，a_n+1=3S_n（n≥1），則數列{a_n}的通項公式a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 先看n≥2根據題設條件可知a_n=3S_n-1，兩式想減整理得a_n+1=4a_n，判斷出此時數列{a_n}為等比數列，a₂=3a₁=3，公比為4，求得n≥2時的通項公式，最后綜合可得答案．

解答 解：當n≥2時，a_n=3S_n-1，
∴a_n+1-a_n=3S_n-3S_n-1=3a_n，
即a_n+1=4a_n，
∴數列{a_n}為等比數列，a₂=3a₁=3，公比為4
∴a_n=3•4^n-2，
當n=1時，a₁=1
∴數列{a_n}的通項公式${a_n}=\left\{\begin{array}{l}1（n=1）\\ 3×{4^{n-2}}（n≥2）\end{array}\right.$．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{3×{4}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查了數列的遞推式求數列通項公式．解題的最后一定要驗證a₁．是基礎題．