Question

在f₁（x）=x

1

2

，f₂（x）=x²，f₃（x）=2^x，f₄（x）=log

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2

x四個函數中，x₁＞x₂＞1時，能使

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2

[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；成立的函數是（　�。�

• A、f₁（x）=x

  1

  2

• B、f₂（x）=x²
• C、f₃（x）=2^x
• D、f₄（x）=log

  1

  2

  x

Answer 1

分析：因為

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2

[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；表示連接兩點A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的線段的中點縱坐標小于f（x）在曲線AB中點(

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))；的縱坐標，也就是說f（x）的圖象“上凸”．所以只需判斷哪個函數的圖象“上凸”即可．

解答：解：∵

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2

[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；表示連接兩點A（x₁，f（x₁）），B （x₂，f（x₂））的線段的中點縱坐標小于f（x）在曲線AB中點(

x1+x2

2

，f(

x1+x2

2

))；的縱坐標，
也就是說f（x）的圖象“上凸”．所以只需判斷哪個函數的圖象“上凸”即可．
由圖形可直觀得到：B，C，D 的圖象都不是上凸的，只有f₁（x）=x

1

2

為“上凸”的函數．
故選A．

點評：（1）不要忽視條件：x₁＞x₂＞1，它表示函數f（x）在（1，+∞）上“上凸”；
（2）

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[f(x1)+f(x2)]＜f(

x1+x2

2

)；表示函數f（x）上凸；
（3）

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[f(x1)+f(x2)]＞f(

x1+x2

2

)；表示函數f（x）下凸．