Question

給出封閉函數的定義：若對于定義域內任意一個自變量x都有函數值f（x₀）∈D，則稱函數y=f（x）在D上封閉．若定義域D=（0，1），則下列函數為封閉函數的是（　　）
①f₁（x）=4x-1  ②f₂（x）=-

1

2

x²-

1

2

x+1  ③f₃（x）=x+

1

x

  ④f₄（x）=x

1

2

．

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④

Answer 1

分析：根據封閉函數的定義，當定義域D=（0，1）時，對①②③④逐個分析即可得答案．

解答：解：當定義域D=（0，1）時，顯然①f₁（x）=4x-1∉D，不是封閉函數；
對于②，f₂（x）=-

1

2

x²-

1

2

x+1=-

1

2

(x+

1

2

)2+

9

8

，
∵0＜x＜1，
∴f₂（x）在（0，1）上單調遞減；
∴f₂（x₀）∈（0，1]=D，即②是封閉函數；
對于③，當定義域D=（0，1）時，f₃（x）=x+

1

x

∈（2，+∞），顯然不是封閉函數；
對于④，當定義域D=（0，1）時，f₄（x）=x

1

2

∈（0，1）=D，即④是封閉函數；
綜上所述，②④是封閉函數．
故選D．

點評：本題考查函數的值域，考查一次函數、二次函數、雙鉤函數與冪函數的性質，考查分析與運算能力，屬于中檔題．