【題目】（A）已知數列
滿足
，其中
， 
.
（1）求
， 
， 
，并猜想
的表達式（不必寫出證明過程）；
（2）由（1）寫出數列
的前
項和
，并用數學歸納法證明.
（B）已知數列
的前
項和為
，且滿足
， 
.
（1）猜想
的表達式，并用數學歸納法證明；
（2）設
， 
，求
的最大值.
【答案】（A）（1）詳見解析;（2）詳見解析.（B）（1）詳見解析;（2）
.
【解析】試題分析:（A）（1）利用
的遞推關系得到
，從而求得
，由此猜想
.（2）由于
是等比數列，利用前
項和公式可得
的表達式，然后利用數學歸納法的證明過程證明結論. （B）（1）利用
，和
的遞推關系，可求得
的值，由此猜想
.然后利用數學歸納法的證明過程證明結論. （2）利用
，可求得
的通項公式，代入
并化簡，利用函數的單調性可求得其最大值.
試題解析：
（A）解（1）由題意， 
， 
， 
，
則
， 
， 
，
猜想得： 
.
（2）由（1），數列
是以4為首項，公比為2的等比數列，
則有
，
證明：當
時， 
成立，
假設當
時，有
，
則當
時， 
，
綜上有
成立.
（B）（1）
，
由
，得
，
由
，得
，
猜想得： 
，
證明：當
時， 
成立，
假設當
時，有
，
則當
時， 
， 
.
綜上， 
成立.
（2）由（1），
時， 
，
當
時， 
滿足止式，
所以
，則
， 
，
設
，則有
在
上為減函數，在
上為增函數，因為
，且
，所以當
或
時， 
有最大值
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有兩個不透明的箱子，每個箱子都裝有4個完全相同的小球，球上分別標有數字1,2,3,4.
(1)甲從其中一個箱子中摸出一個球，乙從另一個箱子摸出一個球，誰摸出的球上標的數字大誰就獲勝（若數字相同則為平局），求甲獲勝的概率；
(2)摸球方法與（1）同，若規定：兩人摸到的球上所標數字相同甲獲勝，所標數字不相同則乙獲勝，這樣規定公平嗎？請說明理由。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
（
為常數， 
是自然對數的底數），曲線
在點
處的切線方程是
.
（1）求
的值；（2）求
的單調區間；
（3）設
（其中
為
的導函數）。證明：對任意
， 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖:某污水處理廠要在一個矩形污水處理池（
）的池底水平鋪設污水凈化管道（
是直角頂點）來處理污水，管道越長污水凈化效果越好，設計要求管道的的接口
是
的中點，
分別落在線段
上。已知
米，
米，記
.
（1）試將污水凈化管道的長度
表示為
的函數，并寫出定義域；
（2）若
，求此時管道的長度；
（3）當取何值時，污水凈化效果最好？并求出此時管道的長度。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】傳承傳統文化再掀熱潮，央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏，將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優秀、良好、一般三個等級，隨機從中抽取了100名選手進行調查，下面是根據調查結果繪制的選手等級人數的條形圖.
（1）若將一般等級和良好等級合稱為合格等級，根據已知條件完成下面的
列聯表，并據此資料你是否有95%的把握認為選手成績“優秀”與文化程度有關？
（2）若參賽選手共6萬人，用頻率估計概率，試估計其中優秀等級的選手人數；
（3）在優秀等級的選手中取6名，依次編號為1,2,3,4,5,6，在良好等級的選手中取6名，依次編號為1,2,3,4,5,6，在選出的6名優秀等級的選手中任取一名，記其編號為
，在選出的6名良好等級的選手中任取一名，記其編號為
，求使得方程組
有唯一一組實數解
的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某同學參加科普知識競賽，需回答3個問題，競賽規則規定：答對第一、二、三問題分別得100分、100分、200分，答錯得零分，假設這名同學答對第一、二、三個問題的概率分別為0.8、0.7、0.6，且各題答對與否相互之間沒有影響.
（1）求這名同學得300分的概率；
（2）求這名同學至少得300分的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】關于空間直角坐標系
中的一點
，有下列說法：
①點
到坐標原點的距離為
；
②
的中點坐標為
；
③點
關于
軸對稱的點的坐標為
；
④點
關于坐標原點對稱的點的坐標為
；
⑤點
關于坐標平面
對稱的點的坐標為
.
其中正確的個數是
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}的前n項和Sn滿足
，
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）求證：數列{an}中的任意三項不可能成等差數列；
（3）設
，Tn為{bn}的前n項和，求證
．
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