Question

【題目】已知橢圓的左，右焦點為，左，右頂點為，過點的

直線分別交橢圓于點.

（1）設動點，滿足，求點的軌跡方程；

（2）當時，求點的坐標；

（3）設，求證：直線過軸上的定點.

Answer 1

【答案】(1)；(2)；(3)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）設點P（x，y），由兩點距離公式將PF2﹣PB2=4，用點點距寫出表示式，整理即得點P的軌跡方程．（2）將分別代入橢圓方程，解出點M與點N的坐標由兩點式寫出直線AM與直線BN的方程聯立解出交點T的坐標．（3）寫出兩條直線，和橢圓聯立得到交點坐標，用MN兩點坐標表示直線，從而得到結論。

（1）由題意知:，設，則

， 化簡整理得:

（2）把代人橢圓方程,分別求出: ，

直線 ①

直線 ②

由 ①、②得：；

（3）由已知，

直線與橢圓聯立，得：

直線與橢圓聯立，得：

直線的方程為：

化簡得

令，解得，即直線過軸上定點.