Question

【題目】已知橢圓（），四點， ， ， 中恰有三點在橢圓上.

（1）求的方程；

（2）設直線不經過點且與相交于兩點，若直線與直線的斜率之和為，證明： 過定點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）根據橢圓的對稱性，得到， ， , 三點在橢圓C上．把點坐標代入橢圓C，求出a2=4，b2=1，由此能求出橢圓C的方程．
（2）設直線l： ，，不設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2, 聯立直線P2A與橢圓方程得 代入直線l方程： 中得，同理，所以易知k1,k2 ,是方程 兩根，由韋達定理，即可得解.

試題解析：

（1）由于p3，p4兩點關于y軸對稱，故由題設知C經過p3，p4兩點，又由知，C不經過點 ，所以點在C上

因此 ,解得

故C的方程為

(2)由題設易知，直線l與x軸不平行，故可設方程為：，

設直線P2A與直線P2B的斜率分別為k1,k2 ,

聯立直線P2A與橢圓方程

即代入直線方程得.

即代入直線l方程： 中，

化簡得：

同理：

易知k1,k2 ,是方程 兩根

故k1+k2 =

m=t+2

即直線l為：

即l過定點（2，-1）.