Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）當，時，證明：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）當 時， ，分類討論：（1） ；（2），可得單調(diào)區(qū)間；（2）當 時，要 證

轉(zhuǎn)化為證 ，設，判斷其單調(diào)性，得 ，此題得證。

（1）當時，

討論：1’當時， ， ，

此時函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間

2’當時，令 或

①當，即時，此時

此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間

②當，即時，此時在和上函數(shù)，

在上函數(shù)，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；

單調(diào)遞減區(qū)間為

③當，即時，此時函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為和；

單調(diào)遞減區(qū)間為

（2）證明：當時

只需證明： 設

問題轉(zhuǎn)化為證明，

令， ，

為上的增函數(shù)，且，

存在唯一的，使得，

在上遞減，在上遞增

不等式得證