Question

【題目】數列的前項和為， 已知，且， ， 三個數依次成等差數列.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數列的通項公式；

（Ⅲ）若數列滿足，設是其前項和，求證： .

Answer 1

【答案】（I）；（II）；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）先由和項與通項關系得項之間遞推關系式，再依次求，根據等差中項性質列方程，解得的值；（2）將項之間遞推關系式進行整理變形為,根據等比數列定義以及通項公式求得，即得數列的通項公式；（3）先化簡得，再從第三項起放縮并利用裂項相消法求和得.

試題解析：（Ⅰ）由已知，得

當時， ， ①

當時， ， ②

又∵成等差數列，∴ ③

將①、②代入③解得：

（Ⅱ）由得：

∴ 即

∴,

∴是以為首項，2為公比的等比數列

∴ ，

∴.

（Ⅲ）由得：

①當時， ，

②當時， ，

③當， 時， ，

∴

.

綜上所述，當時， .