Question

拋物線y²=2px上不同兩點A，B（異于原點O）若OA，OB所在直線斜率之和定值m（m≠0）則直線AB必經過（　　）

• A、（0，

  p

  m

  ）
• B、（0，

  2p

  m

  ）
• C、（-

  2p

  m

  ，0）
• D、（-

  p

  m

  ，0）

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關系

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設出拋物線y²=2px上不同兩點A，B的坐標為（

y 2 1

2p

，y₁），（

y 2 2

2p

，y₂），結合OA，OB所在直線斜率之和定值m，可得

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，設出直線AB的兩點式方程，化簡后讓x=0，可得直線AB所過定點的坐標．

解答： 解：設點A（

y 2 1

2p

，y₁），B（

y 2 2

2p

，y₂），
則kOA=

y1

y 2 1 2p

=

2p

y1

，kOB=

y2

y 2 2 2p

=

2p

y2

，
由已知得：

2p

y1

+

2p

y2

=

2p(y1+y2)

y1•y2

=m，
即

y1+y2

y1•y2

=

m

2p

，即

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，
由直線AB的方程為：

y-y2

y1-y2

=

x- y 2 2 2p

y 2 1 2p - y 2 2 2p

，
整理得：y=

2px+y1•y2

y1+y2

，
當x=0時，y=

y1•y2

y1+y2

=

2p

m

，
故直線必經過（0，

2p

m

）點，
故選：B

點評：本題考查的知識點是直線與圓錐曲線的關系，直線的斜率公式，直線的兩點式方程，難度中檔．