Question

6．設焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，F，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值為4．

Answer 1

分析 由題意可知離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-{b}^{2}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，即可求得b的值，則F（-1，0），A（2，0），設點P（x₀，y₀），${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），$\overrightarrow{PF}$=（-1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{PA}$=（2-x₀，-y₀），根據向量數量積的坐標表示，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-1-x₀）（2-x₀）+${y}_{0}^{2}$=（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）²，由-2≤x₀≤2，即可求得$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$的最大值．

解答 解：由焦點在x軸上的橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，a=2，c=$\sqrt{4-{b}^{2}}$，
離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{4-{b}^{2}}}{2}$=$\frac{1}{2}$，
解得：b²=3，
∴橢圓的標準方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴F（-1，0），A（2，0），設點P（x₀，y₀），
則有$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}+\frac{{y}_{0}^{2}}{3}=1$，解得：${y}_{0}^{2}$=3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$），
$\overrightarrow{PF}$=（-1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{PA}$=（2-x₀，-y₀），
$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$=（-1-x₀）（2-x₀）+${y}_{0}^{2}$=${x}_{0}^{2}$-x₀-2+3（1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$）=$\frac{{x}_{0}^{2}}{4}$-x₀+1=（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）²，
∵-2≤x₀≤2，
∴當x₀=-2時，$\overrightarrow{PF}$•$\overrightarrow{PA}$取最大值，最大值為4，
故答案為：4．

點評 本題考查橢圓的方程、幾何性質、平面向量的數量積的坐標運算、二次函數的單調性與最值等，考查了同學們對基礎知識的熟練程序以及知識的綜合應用能力、運算能力，屬于中檔題．