【題目】在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：
（m＞0）的離心率為
，A，B分別為橢圓的左、右頂點，F是其右焦點，P是橢圓C上異于A、B的動點．
（1）求m的值及橢圓的準線方程；
（2）設過點B且與x軸的垂直的直線交AP于點D，當直線AP繞點A轉動時，試判斷以BD為直徑的圓與直線PF的位置關系，并加以證明．
【答案】（1）
，準線為
；（2）見解析
【解析】試題分析：1）利用橢圓的離心率求出
，即可頂點橢圓方程．
（2）設
．不妨設
，①若
，求出
方程為
方程為
，然后判斷以
為直徑的圓的圓心
，半徑為1與直線相切；②若
則
方程為
，然后判斷以為直徑的圓
與直線相切．
試題解析：（1）因為橢圓的離心率為
．所以
，解得m=9，所以橢圓的方程為，準線方程為
（2）由題可知A（﹣5，0），B（5，0），F（4，0），設P（x0，y0），由橢圓的對稱性，不妨設y0＞0，①若x0=4，則
，PF方程為x=4，AP方程為，D（5，2），以BD為直徑的圓的圓心（5，1），半徑為1與直線PF相切；②若x0≠4，則AP方程為，令x=5，得
，則
，以BD為直徑的圓的圓心
，半徑為
，直線PF方程為
，即y0x﹣（x0﹣4）y﹣4y0=0，圓心M到直線PF的距離
，所以圓M與直線PF相切，綜上所述，當直線AP繞點A轉動時，以BD為直徑的圓與直線PF相切．
口算心算速算應用題系列答案
同步拓展閱讀系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】（本題滿分15分）如圖，在四棱錐
中，平面PAD⊥平面ABCD， 
，
，E是BD的中點．
（Ⅰ）求證：EC//平面APD；
（Ⅱ）求BP與平面ABCD所成角的正切值；
（Ⅲ）求二面角
的正弦值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=60°，PA=AB=BC，
E是PC的中點．求證：
（Ⅰ）CD⊥AE；
（Ⅱ）PD⊥平面ABE．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一汽車廠生產A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月產量如表（單位：輛）：
轎車A | 轎車B | 轎車C | |
舒適型 | 100 | 150 | z |
標準型 | 300 | 450 | 600 |
按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛。
（1）求z的值；
（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本。將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率.
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