Question

【題目】已知函數（為常數）.

（Ⅰ）當時，求函數的單調區間；

（Ⅱ）當時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調增區間為，單調減區間為和．（2）實數的取值范圍是．

【解析】試題分析：（1）先確定函數定義域，再求導函數，進而求定義區間上導函數的零點，最后列表分析導函數符號：確定單調區間,（2）恒成立問題，解決方法為轉化為對應函數最值問題： 的最大值小于零，先求導數，根據導函數是否變化進行討論：當時，單調遞增，無最大值；當時，先增后減，在極值點處取最大值，不恒小于零：當時， 在上單調遞減， .

試題解析：解：（Ⅰ）函數的定義域為，

當時， ，

，

由得， ，

由得， 或，

∴函數的單調增區間為，

單調減區間為和．

（Ⅱ）當時， 恒成立，

令，

問題轉換為時， ．

，

①當時， ，

在上單調遞增，

此時無最大值，故不合題意．

②當時，令解得， ，

此時在上單調遞增，

此時無最大值，故不合題意．

③當時，令解得， ，

當時， ，

而在上單調遞增，在上單調遞減，

，

令， ，

則，

在上單調遞增，

又，

當時， ，

在上小于或等于不恒成立，即不恒成立，

故不合題意．

當時， ，

而此時在上單調遞減， ，符合題意．

綜上可知，實數的取值范圍是．

（也可用洛必達法則）