【題目】對于任意給定的無理數
、
及實數
，證明：圓周
上至多只有兩個有理點（縱、橫坐標均為有理數的點）。
【答案】見解析
【解析】
對于點
，用
表示上述圓周上有理點的個數.
首先，可以作一個符合條件得圓，其上至少有兩個有理點，
為此，取點
，
.則線段
中垂線
.
在直線
上取點
，再取
.則以
為圓心、
為半徑的圓周上至少有
、
這連個有理點.
其次說明，對于任何無理點以及任意正實數，
.
假設有無理點及正實數，在以為圓心、為半徑的圓周上，至少有三個有理點
.
則
. ①
故
， ②
③
記
，
.
.
（1）若
，則由式②知
.
由
為無理數，得
.故點
與
重合，矛盾.
類似地，若
，得點與
重合，矛盾.
（2）若
，
，由式②、③消去得
.
又
為無理數，故
.
則、、三點共線，這與、、三點共圓矛盾.
因此，假設不真，即這種圓上至多有兩個有理點.
于是，對于所有的無理點及所有正實數，的最大值為2.
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一只青蛙從數軸的原點出發，當投下的硬幣正面向上時，它沿數軸的正方向跳動兩個單位；當投下的硬幣反面向上時，它沿數軸的負方向跳動一個單位，若青蛙跳動
次停止，設停止時青蛙在數軸上對應的坐標為隨機變量
，則
______．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某工廠生產某種產品的年固定成本為200萬元，每生產
千件，需另投入成本為
，當年產量不足80千件時，
（萬元）．當年產量不小于80千件時，
（萬元）．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產的商品能全部售完．
（1）寫出年利潤
（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
（2）當年產量為多少千件時，該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在平面直角坐標系
中，以
軸為始邊做兩個銳角
，它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點，已知A，B的橫坐標分別為
（1）求
的值； （2）求
的值。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下列命題中，正確的有（ ）
A.向量
與
是共線向量，則點
、
、
、
必在同一條直線上
B.若
且
，則角
為第二或第四象限角
C.函數
是周期函數，最小正周期是
D.
中，若
，則為鈍角三角形
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