Question

【題目】已知函數(shù)，其中，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）求，令，求出，得出，對分類討論求出，

的解，即可得出結(jié)論；

（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求，設(shè)

，通過求導(dǎo)及構(gòu)造函數(shù)，得且滿足，進(jìn)而得到時，取得最小值，即可求出結(jié)論.

（1）

令，則，所以故

（ⅰ）當(dāng)時，

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減

當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增

（ⅱ）當(dāng)時，令，則或

（a）若即時，

當(dāng)或時，，

所以在和上單調(diào)遞增

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減

（b）若即時，，

所以在上單調(diào)遞增

（c）若即時，

當(dāng)或時，，

所以在和上單調(diào)遞增

當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減

綜上所述：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減

當(dāng)時，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，

在上單調(diào)遞減

（2）解法一：參數(shù)分離法

由知在恒成立即

令，則

令，則，

所以在上單調(diào)遞增

又，

所以在上存在唯一零點，且

所以當(dāng)時，即；當(dāng)時，

即

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

又因為

思路一：即

因為，所以（*）

設(shè)，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增

由（*）知，所以

所以，

則有即

所以實數(shù)的取值范圍為

思路二：即，兩邊取對數(shù)，

得

即（*）

設(shè)，則在上單調(diào)遞增

由（*）知，所以

所以，

則有即

所以實數(shù)的取值范圍為．

下面提供一種利用最小值的定義求的最小值的方法：

先證：，

設(shè)，則，

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以即，

（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），

再證：

由得（用代換），

，

，

（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）

最后證：方程有實根，

設(shè)，則在上單調(diào)遞增，

又，，

所以在有唯一零點，

即方程有實根，

綜上，則有即，

所以實數(shù)的取值范圍為．

解法二：函數(shù)性質(zhì)法

由知在恒成立，

設(shè)，則，

因為，

，所以在上單調(diào)遞增，

又當(dāng)時，；當(dāng)時，；

所以在上存在唯一零點，即，（1）

所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

，

，

即，

思路一：即，

因為，所以，（*）

設(shè)，當(dāng)時，，

所以在上單調(diào)遞增，

由（*）知，

所以即，