Question

10．已知函數f（x）=2sin2x，將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再往上平移1個單位，得到函數y=g（x）的圖象．對任意的a∈R，y=g（x）在區間[a，a+10π]上零點個數的所有可能值為（　　）

• A． 20
• B． 21
• C． 20或21
• D． 21或22

Answer 1

分析 利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得g（x）的解析式，再利用正弦函數在每一個周期內零點的個數，求得函數g（x）在區間[a，a+10π]上零點個數的所有可能值．

解答 解：函數f（x）=2sin2x，將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再往上平移1個單位，
得到函數y=g（x）=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）+1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的圖象．
令g（x）=0，得x=kπ+$\frac{5}{12}$π或x=kπ+$\frac{3}{4}$π（k∈Z），
因為[a，a+10π]恰含10個周期，所以，當a是零點時，在[a，a+10π]上零點個數21，
當a不是零點時，a+kπ（k∈z）也都不是零點，區間[a+kπ，a+（k+1）π]上恰有兩個零點，故在[a，a+10π]上有20個零點．
故函數的零點個數的所有可能值為20或21，
故選：C．

點評 本題主要考查函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的零點，屬于基礎題．