Question

設

OA

=（1，0），

OB

=（a，1-b），

OC

=（b，

1

2

）（a＞0，b＞0），O為坐標原點，若A、B、C三點共線，則2b-a的最小值是（　　）

• A、2
• B、4
• C、

  1

  4

• D、

  1

  2

Answer 1

考點：平行向量與共線向量

專題：平面向量及應用

分析：先利用向量的加減法分別求出

AB

，

AC

，再根據若A、B、C三點共線，則

AB

=λ

AC

，λ≠0，再消去λ，得到2b-a=2b²-2b+1=2(b-

1

2

)2+

1

2

，求出最小值即可．

解答：解：∵

OA

=（1，0），

OB

=（a，1-b），

OC

=（b，

1

2

）（a＞0，b＞0），
∴

AB

=(a-1，1-b)，

AC

=(b-1，

1

2

)
∵A、B、C三點共線，則

AB

=λ

AC

，λ≠0，
∴（a-1，1-b）=λ(b-1，

1

2

)
即：

a-1=λ(b-1) 1-b= 1 2 λ

∴a-1=-2b²+4b-2
∴2b-a=2b²-2b+1=2(b-

1

2

)2+

1

2

∴當b=

1

2

時，2b-a有最小值，最小值是

1

2

．
故選：D．

點評：本題主要考查了向量的共享問題和二次函數的最小值問題，屬于中檔題．