Question

已知2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），當ab取得最小值時，曲線

x|x|

a

-

y|y|

b

=1上的點到直線y=

2

x的距離取值范圍是（　　）

• A、（0，2

  2

  ]
• B、[0，2

  2

  ]
• C、[0，+∞）
• D、（0，

  2 6

  3

  ]

Answer 1

考點：點到直線的距離公式,曲線與方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：利用基本不等式可得b=2a=4．再對x，y分類討論，畫出圖形，利用直線與曲線相切的性質即可得出．

解答：解：∵2a+b-ab=0（a＞0，b＞0），
∴ab=2a+b≥2

2ab

，化為

ab

(

ab

-2

2

)≥0，
∴

ab

≥2

2

，
解得ab≥8．
當且僅當b=2a=4時取等號．
∴曲線為

x|x|

2

-

y|y|

4

=1．
當x≥0，y≥0時，曲線化為

x2

2

-

y2

4

=1；
當x≥0，y≤0時，曲線化為

x2

2

+

y2

4

=1；
當x≤0，y≥0時，曲線化為

-x2

2

-

y2

4

=1，此時無圖形，應舍去；
當x≤0，y≤0時，曲線化為

-x2

2

+

y2

4

=1．
畫出圖形：由圖形可知：直線y=

2

x分別是曲線

x2

2

-

y2

4

=1，曲線

-x2

2

+

y2

4

=1的漸近線．因此點到直線y=

2

x的距離d＞0．
設直線y=

2

x+m與曲線

x2

2

+

y2

4

=1（x≥0，y≤0）相切．
聯立

y= 2 x+m 2x2+y2=4

化為4x2+2

2

mx+m2-4=0，
令△=8m²-16（m²-4）=0，解得m=-2

2

．
∴切線為y=

2

x-2

2

．
兩平行線y=

2

x-2

2

，y=

2

x的距離d=

|0+2 2 |

3

=

2 6

3

．
∴曲線

x|x|

a

-

y|y|

b

=1上的點到直線y=

2

x的距離取值范圍是（0，

2 6

3

]．
故選：D．

點評：本題考查了基本不等式、直線與曲線相切的性質、兩點間的距離公式、分類討論思想方法等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．