Question

（13分）設二次函數的圖像過原點，，
的導函數為，且，
（1）求函數，的解析式；（2）求的極小值；
（3）是否存在實常數和，使得和若存在，求出和的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

解 ：（1）由已知得，
則，從而，∴
，。
由 得，解得
。……………………4分
（2），
求導數得。……………………8分
在（0,1）單調遞減，在（1,+）單調遞增，從而的極小值為。
（3）因 與有一個公共點(1,1),而函數在點(1,1)的切線方程為。
下面驗證都成立即可。
由 ，得，知恒成立。
設，即，
求導數得，
在(0,1)上單調遞增，在上單調遞減，所以 的最大值為，所以恒成立。
故存在這樣的實常數和，且。……………………13分

解析