Question

已知數列{a_n}的通項公式為a_n＝3^n－1，在等差數列{b_n}中，b_n>0(n∈N^*)，且b₁＋b₂＋b₃＝15，又a₁＋b₁，a₂＋b₂，a₃＋b₃成等比數列．
(1)求數列{b_n}的通項公式；
(2)求數列{a_n·b_n}的前n項和T_n.

Answer 1

（1）b_n＝2n＋1（2）T_n＝n·3ⁿ.

(1)∵a_n＝3^n－1(n∈N^*)，∴a₁＝1，a₂＝3，a₃＝9，在等差數列{b_n}中，∵b₁＋b₂＋b₃＝15，∴b₂＝5，又a₁＋b₁，a₂＋b₂，a₃＋b₃成等比數列．
設等差數列{b_n}的公差為d.
∴(1＋5－d)(9＋5＋d)＝64，解得d＝－10或d＝2，
∵b_n>0(n∈N^*)，∴舍去d＝－10，取d＝2，
∴b₁＝3，∴b_n＝2n＋1.
(2)由(1)知，T_n＝3×1＋5×3＋7×3²＋…＋(2n－1)·3^n－2＋(2n＋1)·3^n－1，①
3T_n＝3×3＋5×3²＋7×3³＋…＋(2n－1)·3^n－1＋(2n＋1)·3ⁿ，②
①－②得：－2T_n＝3×1＋2×3＋2×3²＋…＋2×3^n－1－(2n＋1)·3ⁿ＝3＋2(3＋3²＋3³＋…＋3^n－1)－(2n＋1)·3ⁿ＝3＋2×－(2n＋1)·3ⁿ＝3ⁿ－(2n＋1)·3ⁿ＝－2n·3ⁿ.∴T_n＝n·3ⁿ.